Mathematics

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容易忽略条件的部分可解三角形

题目锐角 $\triangle ABC$ 中,已知 $a=\sqrt{3}$,$A=\dfrac{\pi}{3}$,则 $b^2+c^2+bc$ 的取值范围是

(A) $(3,9]$  (B) $(5,9]$

(C) $(7,9]$  (D) $(5,7]$

 

解法一由余弦定理,$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$,即 $3=b^2+c^2-bc$,得$b^2+c^2=bc+3$

由正弦定理,$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ 得

$bc=4\sin B\sin C=4\sin B\sin (\dfrac{2\pi}{3}-B)$

化简得 $bc=2\sin(2B-\dfrac{\pi}{6})+1$

由 $0<B<\dfrac{\pi}{2},0<\dfrac{2\pi}{3}-B<\dfrac{\pi}{2}$ 得 $\dfrac{\pi}{6}<B<\dfrac{\pi}{2}$

于是 $\dfrac{\pi}{6}<2B-\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{5\pi}{6}$

所以 $\sin(2B-\dfrac{\pi}{6})\in (\dfrac{1}{2},1]$,$bc\in (2,3]$,$b^2+c^2+bc=2bc+3\in(7,9]$,选 (C) .

 

解法二$a=\sqrt{3},A=\dfrac{\pi}{3}\Rightarrow R=1$

$3=a^2$$=b^2+c^2-bc$$=(b^2+c^2+bc)-2bc$$=y-2bc$

所以
$y=2bc+3=8\sin B\sin C+3$
$=-4[\cos(B+C)-\cos(B+C)]+3$
$=4\cos(B-C)+5$

又锐角三角形 $B,C\in(0,\dfrac{\pi}{2})$ 且 $B+C=\dfrac{2\pi}{3}$$\Rightarrow B-C\in(-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{3})$

所以 $y=4\cos(B-C)+5\in(7,9]$

 

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