已知$a,b,c,d \in \mathbf{R}$.求证 $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{d^2+a^2} \geq \sqrt{2}(a+b+c+d)$. 【分析】不等式左边是平面内某两点间的距离形式，由此联想构造距离来证明。 【证】取直角坐标系内四点：$A(a,b)$,$B(a+b,b+c)$,$C(a+b+c,b+c+d)$,$D(a+b+c+d,a+b+c+d)$. 平面内两点间所有连线中，直线段最短，所以 $\vert OA\ver…

$\displaystyle \sum^n_{k=1}\dfrac{2}{2k+1}\ln(n+1)<\ln(n+1)<\sum^n_{k=1}\dfrac{1}{\sqrt{k^2+k}}$ $\displaystyle \sum^n_{k=1}\dfrac{1}{\sqrt{2^k(2^k+1)}}>\ln \dfrac{2^{n+1}}{2^n+1}$ $\displaystyle \sum^n_{k=1}\dfrac{1}{k}>\ln(n+1)+\dfrac{1}{2}\dfrac…

证明$e^x \geq 1+x$ 证明$e^{-x} \leq \dfrac{1}{1+x}$ , $x>-1$ 证明$e^{-x} \geq 1-x$ 证明$e^x \leq \dfrac{1}{1-x}$ , $x<1$ 证明$e^x \geq 1+x+\dfrac{1}{2}x^2$ , $x\geq 0$ 证明$e^{-x}\leq 1-x+\dfrac{1}{2}x^2$ , $x\geq 0$ 证明$\dfrac{x}{x+1}<\dfrac{2x}{x+2}<\ln(1+x)&…