Mathematics

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构造法证明不等式

已知a,b,c,d \in \mathbf{R}.求证

\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{d^2+a^2} \geq \sqrt{2}(a+b+c+d).

分析】不等式左边是平面内某两点间的距离形式,由此联想构造距离来证明。
】取直角坐标系内四点:A(a,b),B(a+b,b+c),C(a+b+c,b+c+d),D(a+b+c+d,a+b+c+d).
平面内两点间所有连线中,直线段最短,所以
\vert OA\vert+\vert AB\vert+\vert AC\vert+\vert CD\vert \geq \vert OD \vert.
\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{d^2+a^2} \geq \sqrt{2}(a+b+c+d).

评注】构造法的优越性在于脱离原来讨论的“陌生”环境到一个“熟悉”的地方来研究,自然事半功倍.
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